БЛОГ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ КОВЕРДІЙ ОЛЕКСАНДРИ ІВАНІВНИ

Несподівана математика

Ми звикли дізнаватися про математику з поважних, серйозних джерел, довго читати, аналізувати, думати… Але ж іноді, щоб зрозуміти, важливо побачити, відчути.

Сьогодні представляю Вам дивовижні картини художника Мауріца Корнеліуса Ешера, у яких він наочно розповідає про математичні поняття. Отже, дивіться, зіставляйте, думайте!

Роботи Ешера — приголомшливі ілюстрації симетрії, застосовні в інженерній справі, геології і криптографії.

Мауріц Корнеліус Ешер (1898–1972 рр.) — нідерландський художник-графік. Відомий насамперед своїми дотепними літографіями і гравюрами, в яких майстерно досліджував пластичні аспекти понять нескінченності та симетрії, а також особливості психологічного сприйняття складних тривимірних об’єктів, дав оригінальну візуальну інтерпретацію деяких математичних законів. Для нього характерне дотепне осмислення логічних і пластичних парадоксів. Це ще цікавіше тим, що сам Ешер не мав спеціальної математичної освіти. Коли одного разу відомий геометр Кокстер запросив Ешера на свою лекцію про математичний зміст його літографій, художник не зрозумів майже ні слова.

Моріс Ешер народився в місті Леварден, адміністративному центрі нідерландської провінції Фрісландія, в сім'ї інженера. У 1903 році родина переїхала в Арнем, де хлопчик деякий час навчався столярній справі й музиці. З 1912 по 1918 роки Моріс вчився в середній школі. Хоча з раннього віку він проявляв здібності до малювання, його успіхи в школі були дуже посередніми.

У 1919 році Ешер вступає у Школу архітектури та декоративних мистецтв у місті Гарлемі. Його вчителем там був художник Самуель де Мескіта. Ешер підтримував дружні стосунки з Мескіти аж до 1944 року, коли Мескіта, єврей за походженням, був разом з сім'єю знищений нацистами.

На початку 1920-х Ешер часто подорожує до Італії. Саме там він вперше зустрічається з Йетті Умікер, яка в 1924 році стає його дружиною. Подружжя жило в Римі до 1935 року, коли перебування в Італії, під контролем режиму Муссоліні, стало для них важким. Потім Ешери переїхали в Шато-д'О (Швейцарія).

У січні 1941 року, після початку Другої світової війни, Ешери повертаються до Нідерландів. З 1940-х по 1970-ті вони жили в голландському місті Барн (Baarn). У липні 1969 року Ешер створює свою останню гравюру на дереві - «Змії».

Ешер помер 27 березня 1972 в своєму будинку в Ларені, на півночі Нідерландів.

Творчість

Для сюжетів «класичних» творів Ешера («Рисуючі руки», «Метаморфози», «День і ніч», «Рептилії», «Зустріч», «Будинок зі сходами» і т. д.) характерно дотепне осмислення логічних і пластичних парадоксів. У поєднанні з віртуозною технікою це справляє сильне враження.

Одним з найвидатніших аспектів творчості Ешера є зображення "метаморфоз", що фігурують у різних формах в безлічі робіт. Художник докладно досліджує поступовість переходу від однієї геометричної фігури до іншої, за допомогою незначних змін в обрисах. Крім того, Ешер неодноразово малював метаморфози, що відбуваються з живими істотами (птахи перетворюються у нього в риб та ін.) І навіть «одушевляв» в ході метаморфоз неживі предмети, перетворюючи їх на живих істот.

Моріс Ешер одним з перших став зображати у своїх картинах фрактали. Тільки через десятиліття вчені стали вивчати властивості цих фігур і за допомогою ЕОМ створювати те, що Ешер малював вручну.

Математична складова в роботах Ешера

При погляді на будь-яку з «мозаїк» майстра в кожної людини виникає підозра на математичну закономірність. Однак з біографії художника і його власних спогадів нам відомо, що він не міг похвалитися закінченим математичною освітою. Природно, запропоноване нижче припущення про математично вивірені способи створення гравюр не вимагає глибоких пізнань в математиці. Варто згадати наступний чудовий факт з життя художника. Якось відомий геометр Г. Кокстера запросив художника на свою лекцію, присвячену математичному змісту його гравюр і літографій. До взаємного розчарування, Моріс Ешер не зрозумів майже ні слова з того, про що розповідав Кокстера. Ось що писав про це сам художник: «Я так жодного разу і не зміг отримати гарної оцінки з математики. Забавно, що я несподівано виявився пов'язаним з цією наукою. Повірте, в школі я був дуже поганим учнем. І ось тепер математики використовують мої малюнки для ілюстрації своїх книг. Уявіть собі, ці вчені люди приймають мене в свою компанію як втраченого і знову знайденого брата! Вони, здається, не підозрюють, що математично я абсолютно безграмотний ».

У цих словах, напевно, є частка перебільшення. Все ж нам здається, що творчість Ешера цікава математикам не тільки тому, що в його роботах можна виявити відгомони конкретних математичних результатів. Швидше вони викликають асоціації із загальними математичними ідеями.

Саме на допомогу у вивченні математики і буде зроблено акцент практичного застосування нашої роботи. За допомогою робіт Моріса Ешера можна пояснити такі математичні поняття і терміни, що вивчаються в школі, як: паралельне перенесення, подібність фігур, рівновеликі фігури, періодичність. А деякі поняття не входять в шкільний курс математики. У цей список можна включити такі терміни: квазіперіодичності, інфляція, дефляція, трикутники Робінсона, перетворення дуальності. У всьому вищеописаному нам допомагає розібратися мистецтво, мистецтво чудового і цікавого голландського художника Моріса Корнеліуса Ешера.

Вивчивши значну частину робіт Моріса Ешера, ми зробили відповідні висновки про природу його таланту і припустили спосіб, за допомогою якого можна було створювати такі гравюри. На жаль, але сам художник ніколи не розкривав секрети своєї майстерності. Однак у його творчості є цілий масив гравюр, названий ним «Симетрія». Гравюри, що входять до складу цього масиву і лягли в основу нашого дослідження. Сам Моріс Ешер, як багато геніїв і до і після нього, стверджував: «Всі мої твори - це ігри. Серйозні ігри ». Однак у цих іграх математики всього світу ось уже кілька десятиліть розглядають абсолютно серйозні, матеріальні докази ідей, створених за допомогою виключно математичного апарату

Неможливі ситуації