Дивовижна поверхня. Чи всі поверхні мають дві сторони? 

Візьмемо довгу смужку паперу і склеїмо з неї кільце. «Нічого незвичайного!» — скажете ви. Та й, справді, — звичайне кільце. Одну його сторону, наприклад, зовнішню, можна розфарбувати червоним кольором, а другу — зеленим. Все як завжди. Якщо комашка буде повзти по червоній стороні кільця, то, щоб опинитися на зеленій, їй неодмінно доведеться перелізти через край кільця.

Є кільце — лист Мьобіуса, іноді його називають стрічкою Мьобіуса (і кожен може легко і швидко його зробити!), для якого все вже написано, — неправда. Лист Мьобіуса має лише одну сторону та один край. 

Уперше його винайшов німецький математик Август Фердинанд Мьобіус, 1858 р. А наштовхнув його на таке відкриття, мабуть, цікаво зав’язаний шарфик його домоправительки, а, можливо, неправильно зшита служницею стрічка.

Август Фердинанд Мьобіус (1790–1868 рр.) — німецький математик та астроном-теоретик.

1813–1814 рр. Мьобіус був учнем «короля математиків» К. Гаусса. З 1816 р. почав вести самостійні астрономічні спостереження у Плейсенбурзькій обсерваторії, 1818 р. став її директором, згодом — професором Лейпцигського університету.

Щоб зробити лист Мьобіуса, слід взяти таку саму смужку паперу як та, з якої ми робили кільце. Склеїти її треба так: кут, позначений літерою А, склеїти з кутом на протилежній стороні, що позначений літерою С; кут, позначений літерою В, склеїти з кутом на протилежному боці, позначеним літерою D.

Спробуємо розфарбувати його як кільце. Та нічого не виходить: лист Мьобіуса неможливо розфарбувати різними кольорами, тому вчені кажуть, що він має лише одну сторону. Весь лист можна розфарбувати тільки одним кольором. А потрапити з однієї точки поверхні листа у будь-яку іншу можна не перетинаючи краю.

Уявіть, що дві комашки подорожують листом Мьобіуса назустріч одна одній. Де вони зустрінуться?

У звичайного кільця два краї, їх можна розфарбувати різними кольорами. А тепер спробуйте розфарбувати не весь лист Мьобіуса, а лише його край (так само, як у звичайного кільця). Що вийшло? Скільки країв у листа Мьобіуса?

Фокуси з листом Мьобіуса

З листом Мьобіуса можна показувати цікаві фокуси.

Фокус 1

Виріжте дві такі самі смужки паперу, як для листа Мьобіуса. Склейте з них кільце і лист Мьобіуса.

Ножицями акуратно розріжте лист Мьобіуса і кільце вздовж на дві рівні частини. Різати слід уздовж намальованої лінії. Що цікавого вийшло?

Ми отримали не два листи Мьобіуса, як, напевно, сподівалися, а одне довге кільце, перекручене удвічі. А тепер спробуйте кільце, яке отримали, розрізати ще раз так само уздовж, на дві частини.

Фокус 2

Спробуйте розрізати лист Мьобіуса, відступивши від краю приблизно на третину його ширини. Здається, вийде таке саме кільце, як у першому фокусі. Перевірте це. Обіцяю: відповідь буде дивовижною.

Фокус 3

Спробуйте розрізати лист Мьобіуса на більше частин. Вийде цікавий результат.

Фокус 4

Досі всі листи Мьобіуса ми робили з одним напівоборотом. Спробуйте склеїти кільця з двома і більше напівоборотами у них. Чи будуть вони листами Мьобіуса? Що ми отримаємо, якщо розріжемо ці кільця навпіл?

Спробуємо «спіймати» момент перетворення двосторонньої поверхні на односторонню. Візьмемо смужку паперу, розфарбуємо її сторони різними кольорами, склеїмо лист Мьобіуса. Уважно розглянемо його. Що сталося з кольорами? Де «зустрілися» кольори? Уявимо, що по листу Мьобіуса рухається мурашка. Якого кольору буде її стежка?

Повторимо з цим листом Мьобіуса всі описані фокуси. Що нового ми побачили?

Мауріц Корнеліус Ешер

Листи Мьобіуса навколо

Але лист Мьобіуса — не лише вправа для розуму, він і практично застосовується. У вигляді листа Мьобіуса роблять смужку стрічкового конвеєра, що дає змогу йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки рівномірно зношується. Ще застосовуються листи Мьобіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), у матричних принтерах фарбувальна стрічка також мала вигляд

листа Мьобіуса для збільшення терміну придатності. Ми можемо побачити фрагменти листа Мьобіуса на атракціоні «Американські гірки».

Фізики-теоретики дійшли висновку, що наш Всесвіт цілком можливо замкнутий у лист Мьобіуса згідно з теорією відносності.

Є гіпотеза, що спіраль ДНК сама собою теж є фрагментом стрічки Мьобіуса і лише тому генетичний код такий складний для розшифровки і сприйняття.

Рекомбинантна ДНК Мьобіуса

Фізики, до речі, стверджують також, що всі оптичні закони основані на властивостях листа Мьобіуса, зокрема відображення в зеркалі — це своєрідне перенесення в часі, короткотерміновий, що триває соті долі секунди, адже ми бачимо перед собою правильного, дзеркального свого двійника!

Міст у стилі листа Мьобіуса (Китай)

Проект «Гніздо ластівки» (французьке бюро Vincent Callebaut Architectures, Тайвань)

Ліза Рей