БЛОГ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ КОВЕРДІЙ ОЛЕКСАНДРИ ІВАНІВНИ: Мозаїка

Поняття геометричної мозаїки

В геометрії під мозаїкою (паркетом) розуміють заповнення площини однаковими фігурами (елементами мозаїки), які не перекривають один одного і не залишають на площині порожнього простору (іноді мозаїкою називають заповнення площини декількома фігурами, наприклад, правильними многокутниками).

Звичайний зошит в клітинку являє собою найпростішу геометричну мозаїку. Елементом тут є квадрат. Елементами мозаїки можуть бути також рівносторонній трикутник, правильний шестикутник, довільний паралелограм, довільний чотирикутник. Можна придумати сотні, тисячі різних елементів паркетів.

Математична теорія паркетів

Всі паркети можна умовно розбити на три великі групи: правильні, напівправильні і неправильні паркети.

Правильний паркет

Паркет називається правильним, якщо він складається з правильних многокутників і навколо кожної вершини многокутники розташовані одним і тим же способом. Приклади правильних паркетів дають заповнення площини квадратами, правильними трикутниками, правильними шестикутниками:

Якими многокутниками можна викласти плоску поверхню, якщо застосувати лише одну форму плиток?

Сума всіх кутів n-кутника дорівнює 180°(n-2). Всі кути правильного многокутника рівні; отже, кожен з них дорівнює 180°(n-2)/n. У кожній вершині паркету сходиться ціле число кутів; тому число 360° має бути цілим кратним числа . Перетворимо відношення цих чисел:

2 +4/(n-2) .

Різниця n-2 може приймати лише значення 1, 2 або 4; тому n може бути тільки 3, 4 або 6. Отже існує лише три способи покрити площину правильними многокутниками, використовуючи квадрати, шестикутники або рівносторонні трикутники. Тобто правильних паркетів є лише 3.

Напівправильний паркет

Паркет називається напівправильним, якщо він складається з правильних

многокутників (з різною кількістю сторін), однаково розташованих навколо кожної вершини:

Спочатку з'ясуємо, яка кількість різних правильних многокутників (з однаковими довжинами сторін) може перебувати навколо кожної точки.

Величина кута правильного многокутника повинна знаходитися в інтервалі від 60° до 180° (не включаючи); отже, число многокутників, що знаходяться навколо точки, повинно бути більше 2 (360°:180°) і не може перевищувати 6 (360° : 60°).

Можна показати, що існують такі способи укласти паркет комбінаціями правильних многокутників: (3,12,12); (4,6,12); (3,3,6,6); (3,4,4,6); (3,3,3,4,4); (3,3,3,3,6); (8,8,4) (цифри в дужках - позначення багатокутників, що сходяться в кожній вершині: 3 - правильний трикутник, 4 - квадрат, 6 - правильний шестикутник, 8 – правильний восьмикутник, 12 - правильний дванадцятикутник).